Dwarse wiskundigen willen af van oneindigheid, sleutelbegrip in hun vakgebied: ‘Totale onzin’

Een belofte vooraf: aan dit verhaal komt een eind. Net als aan de meeste andere zaken in het leven. Of het nu de hoeveelheid appels betreft in een mandje, of zelfs de hoeveelheid dollars van het vermogen van Elon Musk: wie doortelt, is uiteindelijk altijd een keertje klaar. Eindigheid is de norm.

Heel anders is dat in de wiskunde. Wanneer je de getallen zelf beschouwt, komt dat eind juist nooit in zicht. De getallen 1, 2, 3, 4, enzovoorts, gaan altijd door. ‘Je kunt er eeuwig één bij blijven optellen. Er bestaat voor zover we weten niet zoiets als het grootst mogelijke natuurlijke getal’, zegt wiskundige Benno van den Berg van de Universiteit van Amsterdam.

De natuurlijke getallen, zoals wiskundigen ze noemen, vormen daarmee een reeks zonder eindpunt. Eentje die doorloopt tot ver voorbij de ijlste uithoeken van het menselijk vermogen tot tellen, tot diep in het schimmige domein van de oneindigheid.

Eenmaal in dat domein aangekomen, groeit echter het ongemak van sommige wiskundigen. Een klein groepje, weliswaar, maar wel eentje met een aan oneindigheid grenzende overtuiging van het eigen gelijk.

Ketters

‘Ik kan geen professor zijn met een vaste aanstelling zonder aan dit soort bizarre dingen te doen’, zei wiskundige Doron Zeilberger onlangs tegen de populairwetenschappelijke website Quanta Magazine over het gebruik van oneindigheid in zijn eigen werk.

Zeilberger pleit namelijk hartstochtelijk voor een definitief afscheid van oneindig. Het is, zo realiseert hij zich ook, een nogal rebelse houding in een discipline waarin het gebruik ervan de normaalste zaak van de wereld is. ‘Gelukkig eindigen ketters tegenwoordig niet meer op de brandstapel.’

Dat Zeilberger en andere wiskundigen die zijn mening delen ongemak voelen bij het idee dat iets oneindig kan zijn, is op zich niet vreemd. Sterker nog: zelfs de grondleggers van het idee worstelden soms met hun intuïtie.

‘Dat begon al bij iemand als Galileo’, zegt wiskundige KP Hart van de TU Delft, verwijzend naar de Italiaanse astronoom en wiskundige die vooral bekend werd vanwege zijn conflict met de kerk over de stelling dat de aarde om de zon draait in plaats van andersom. Galileo was echter ook een van de grondleggers van het denken over oneindigheid.

‘Hij schreef een dialoog tussen een leraar en een leerling over twee oneindige verzamelingen’, zegt Hart. De ene is die van de natuurlijke getallen: 1, 2, 3, 4, 5, enzovoorts. De andere krijg je door het kwadraat te nemen van de getallen in de eerste: 1, 4, 9, 16, 25, enzovoorts.

‘Zo op het oog lijkt het alsof er véél minder getallen in de tweede verzameling zitten. Je slaat er immers een heleboel over’, zegt Hart. En toch zijn beide verzamelingen oneindig groot.

Sterker nog, schrijf beide rijen onder elkaar en je kunt onder élk natuurlijk getal zijn kwadraat zetten, tot in het oneindige. Conclusie: beide rijen moeten wel even groot zijn. ‘Dat schuurde voor Galileo’, zegt Hart. ‘Want ineens is een set met daarin een deel van de natuurlijke getallen even groot als de set met daarin al die natuurlijke getallen.’

Andere denkoefeningen veroorzaakten dezelfde soort verwarring. Neem weer de natuurlijke getallen (1, 2, 3, enzovoorts) en zet de even getallen (2, 4, 6, enzovoorts) eronder. Intuïtief lijkt die eerste verzameling groter dan die tweede, maar ook daar kun je beide een-op-een met elkaar verbinden, door de even getallen door 2 te delen. Je krijgt dan de verzameling natuurlijke getallen terug, kijk maar:

2/2 = 1, 4/2 = 2, 6/2 = 3, 8/2 = 4, enzovoort, tot in – daar is-ie weer – het oneindige.

Ook die verzamelingen moeten dus even groot zijn, ongeacht het feit dat je intuïtie anders eist.

Wie een beetje hoofdpijn begint te krijgen, verkeert in goed gezelschap. Eeuwenlang worstelden experts met precies dit soort paradoxen. Totdat de beroemde wiskundige Georg Cantor, de grootvader van het moderne oneindige, grofweg 150 jaar geleden formeel orde op zaken stelde.

Verzinsel

Cantor introduceerde in 1874 de verzamelingenleer, waarin ‘oneindige verzamelingen’ plots getemd werden tot hanteerbare objecten, ingebed in een strikt wiskundig formalisme. In Cantors wereld bestond zo’n oneindige set, of verzameling, écht.

‘Vroeger hadden wiskundigen het spreken over het actuele oneindige bijna verboden. Het idee heerste toen dat je alle punten in een verzameling moet kennen om over die verzameling te kunnen spreken’, zegt Hart.

Hij vertelt hoe het de wiskundige Bernard Bolzano (1781–1848) was die het verzet tegen dat idee begon. ‘Hij zei: wat een flauwekul. Ik kan best over de verzameling inwoners van Praag praten – hij woonde in Praag – zonder dat ik de inwoners van de stad allemaal ken.’

Cantor maakte die gedachte af: verzamelingen met oneindig veel elementen maakte hij onderdeel van de verzamelingenleer, zodat wiskundigen er gewoon mee konden rekenen. Van iets ongrijpbaars werd het oneindige daarmee in elk geval in de wiskundeboeken plots iets alledaags.

Toch maakte dat de gevoelsmatige verwarring er niet minder op. Sterker nog: uit Cantors verzamelingenleer borrelden nog veel vreemdere conclusies op, die wiskundigen gedwongen werden te accepteren als onderdeel van Cantors succesvolle theorie.

Zo bleek bijvoorbeeld dat niet elke vorm van ‘oneindig’ gelijk geschapen is. In tegenstelling tot de voorbeelden hierboven kan de ene oneindige verzameling bij Cantor gerust ook groter zijn dan de andere – meer elementen bevatten, dus – terwijl beide verzamelingen tóch ‘oneindig groot’ zijn.

Het waren dat soort dingen die bleven schuren. Intuïtief zou je je zelfs kunnen afvragen of al die verwarrende conclusies niet gewoon een teken zijn dat ‘oneindig’ als zodanig een aardig verzinsel is, een handigheidje, of toch op z’n minst een leuke curiositeit op feestjes vol wiskundigen, maar dat het niet écht bestaat.\

‘Ik denk dat de meeste wiskundigen niet zo happig zijn op dit soort vragen en de filosofische implicaties ervan ontwijken. Ik denk dat ze in de dagelijkse praktijk een soort platonische houding voor oneindig hanteren’, zegt Van den Berg. Een filosofisch compromis waarin het oneindige deel uitmaakt van een soort ontastbare, abstracte ideeënwereld, maar tegelijk toch invloed heeft op de échte wereld.

Sterker nog, zegt Hart: gum het begrip ‘oneindig’ uit de wiskunde en je hebt al snel een probleem. ‘We gebruiken oneindige dingen om eindige voorwerpen te beschrijven’, zegt hij. Denk bijvoorbeeld aan een lijn die je door een eindig aantal punten in een grafiek trekt: zo’n lijn bevat formeel gezien een oneindige hoeveelheid punten. ‘Neem je afscheid van zulk soort abstracties, dan wordt het boekhouden in de wiskunde een stuk ingewikkelder.’ In de wiskunde is het oneindige daarmee, bizar genoeg, vaak ook een manier om het eindige te temmen.

Maar die breinpijnigende paradoxen dan? ‘Onze alledaagse intuïties zijn gevormd door het eindige’, zegt Van den Berg. ‘De kunst is om anders te leren nadenken.’

Geïdealiseerd treinspoor

Bij oneindigheidsparadoxen is ons gevoel met zichzelf in gevecht, stelt hij. ‘Wil je als wiskundige een intern consistente theorie maken, dan moet je kiezen welke intuïtie je behoudt en welke je weggooit. De wiskunde heeft ervoor gekozen om de intuïtie te behouden dat twee sets even groot zijn als je de elementen een-op-een met elkaar kunt verbinden.’

Concreet betekent dat bij het eerder genoemde voorbeeld van de natuurlijke getallen en de kwadraten van die natuurlijke getallen dat ze inderdaad beide oneindig zijn, én even groot: je kunt immers elk natuurlijk getal verbinden met zijn kwadraat.

Kort door de bocht: je verwijst de intuïtie dat de ene verzameling met alle natuurlijke getallen groter moet zijn dan de andere, met slechts een deel van die getallen, naar de prullenbak. ‘In het wiskundig verzamelwerk De Elementen van Euclides staat: het geheel is groter dan het deel’, zegt Hart. ‘Dat klopt in de meetkunde, waar men de grootte afmeet aan de lengte van een lijnstuk. Maar dat geldt hier dus niet meer.’

Dat wiskundigen ‘oneindig’ gebruiken, is overigens ook vanuit het oogpunt van de intuïtie best verdedigbaar. Neem nu twee evenwijdige lijnen, de rails van een geïdealiseerd treinspoor. Volg je dat spoor, dan is het heel logisch en menselijk om te denken dat je dat eeuwig kunt blijven doen. Het zou pas raar zijn als je zou aannemen dat die twee rails elkaar ergens moeten ontmoeten, simpelweg omdat ‘oneindig’ niet bestaat.

Om te zien hoezeer oneindigheid past binnen de menselijke belevingswereld, kun je bovendien ook kijken naar veel religies, die preken over een vorm van oneindig bestaan na de dood.

En toch wringt oneindigheid voor een smaldeel van het vakgebied te veel.

Grootste getal

Mensen zoals Doron Zeilberger, die het oneindige verwerpen op filosofische gronden, noemen zichzelf ook wel ‘ultrafinitisten’, extreme voorvechters van het eindige. Nog nooit heeft iemand iets gezien dat écht oneindig is, zeggen ze. Van de aarde tot zelfs het heelal: alle objecten in de werkelijke wereld hebben een einde of grens. Zomaar aannemen dat dit in de wiskunde niet zo zal zijn, is volgens hen intellectueel onzuiver.

En dan zijn er dus de paradoxen, waarvan de meest extreme voorbeelden totaal bizarre conclusies opleveren. Neem bijvoorbeeld de raadselachtige Banach-Tarskiparadox, vernoemd naar twee wiskundigen die in 1924 bewezen dat je een bal in stukjes kunt opbreken om met die stukjes vervolgens twee ballen te fabriceren die identiek zijn aan de eerste.

Als een goochelaar dat op het podium zou doen, zou je een vingervlug schimmenspel vermoeden met spiegels en illusies, maar op papier is zoiets wiskundig wel degelijk mogelijk – zolang we althans leven in een werkelijkheid beschreven door een wiskunde die het begrip oneindig bevat.

Het voedt bij de tegenstanders het idee dat we ervan af moeten. Het oneindige is ‘heel lelijk’, ‘totale onzin’ en ‘je hebt het niet nodig’, zei Zeilberger tegen Quanta Magazine. Het enige dat je kwijtraakt als je er afscheid van neemt, zijn takken van de wiskunde die ‘het sowieso niet waard waren om mee bezig te zijn’.

Of, zoals filosoof Justin Clarke-Doane het tegen diezelfde site samenvat: ‘Als er misschien alleen een eindige hoeveelheid dingen bestaat, dan moeten we ook een vorm van wiskunde gebruiken die niet zomaar van het begin af aan al aanneemt dat er oneindig veel dingen bestaan. Dat zou onderdeel van het menu moeten zijn in de filosofie van de wiskunde.’

Wie afscheid neemt van oneindig, komt echter voor gekke besluiten te staan. Zo moet er dan, logischerwijs, een grootste getal bestaan. Een bekende anekdote in mathematische kringen is het moment dat de Amerikaanse logicus Harvey Friedman aan de Sovjet-dissident, wiskundige en oneindigheidsverwerper Alexander Esenin-Volpin vroeg waar de grens dan moet liggen. Wanneer is een getal écht te groot?

Hij besloot Esenin-Volpin de reeks 2ⁿ voor te leggen, waarbij de ‘n’ een steeds verder oplopend natuurlijk getal is. Is 2¹ nog een getal? Ja, antwoordde Esenin-Volpin vrijwel meteen. ‘Ik ging toen door met 2² en hij zei opnieuw ja, maar met een merkbare vertraging’, zo haalde Friedman het moment in 2002 aan tijdens een lezing aan de Princeton-universiteit.

‘Toen 2³, en ‘ja’, maar met nog meer vertraging. Dit ging nog een aantal keer door totdat het duidelijk werd hoe hij mijn bezwaar wilde aanpakken. Ja, hij was bereid steeds ‘ja’ te antwoorden, maar hij zou er 2¹⁰⁰ keer zo lang over doen om ‘ja’ te zeggen tegen 2¹⁰⁰ dan tegen 2¹.’

Esenin-Volpin had zijn punt gemaakt: er zitten fysieke grenzen aan getallen, zelfs als die in de papieren werkelijkheid van de huidige wiskunde niet bestaan. ‘Ik zou met mijn vragen niet heel ver komen’, concludeerde Friedman.

De praktische uitdaging om een wiskunde zonder oneindig te construeren zijn groot. Ja, er bestaan meerdere rudimentaire ideeën en aanzetten in de vakliteratuur, maar een echt werkbaar alternatief met de reikwijdte van de reguliere wiskunde? Vergeet het maar. ‘Het gevoel is toch een beetje: dit is hopeloos’, zegt Clarke-Doane.

Spelregels

‘Mijn eerste reactie die ik als logicus heb, is: wat zijn nu de nieuwe spelregels?’, zegt ook Van den Berg. ‘Voor het ultrafinitisme is dat altijd vaag gebleven. Wat heb je echt nodig om natuurkunde te doen? Wat heb je echt nodig om bruggen te bouwen? Voor zulke praktische zaken is in principe slechts een klein fragment nodig van alle axioma’s die we kennen in de wiskunde. Als je oneindig afschaft, kunnen we vast nog steeds mensen naar de maan schieten, om maar iets te noemen. Maar hoe dat er in praktische zin uitziet, vind ik moeilijk te zeggen.’

Wie zich ongemakkelijk voelt bij oneindigheid, kan daarom ook een soort tussenstap maken, ergens tussen het compromisloze afwijzen van het oneindige door de ultrafinitisten en de impliciete omarming van de reguliere wiskunde.

‘Zelf ben ik beter bekend met de school van het intuïtionisme’, zegt Van den Berg, verwijzend naar die tussenvorm. Die school verwerpt het bestaan van ‘het actueel oneindige’, zoals wiskundigen zeggen – oneindig als iets dat écht bestaat, een bestemming die je daadwerkelijk kunt bereiken. ‘Tegelijk behouden volgers van deze school wél de waarde van oneindig als rekenmethode in de wiskunde.’

Dat is een subtiel verschil. Een intuïtionist ziet het getal ‘π’ (3,1415...) bijvoorbeeld niet als een écht getal, een ding met een oneindige reeks cijfers achter de komma, maar eerder als een soort algoritme dat die oneindige reeks cijfers genereert.

Die visie schurkt dichter aan tegen hoe klassieke denkers als Aristoteles het oneindige beschouwden: als iets dat je steeds dichter kunt naderen, maar nooit werkelijk kunt bereiken. ‘Je tornt daarmee niet aan de intuïtie dat je altijd één bij een natuurlijk getal kunt optellen, maar wel aan het idee dat dit proces in het oneindige op een gegeven moment ‘af’ is’, zegt Van den Berg.

De kentering die het intuïtionisme veroorzaakt in het denken over oneindigheid speelt zich vooral af op filosofisch vlak, zo geeft ook Van den Berg toe. Aan de manier waarop je oneindig in praktische zin binnen de wiskunde gebruikt, verandert naar de zin van hardliners zoals Zeilberger te weinig.

Iets bizars als de Banach-Tarskiparadox is bijvoorbeeld nog steeds mogelijk; de intuïtionist zal hooguit stellen dat je de nieuwe ballen in de fysieke praktijk nooit daadwerkelijk zult kunnen samenstellen uit de stukjes van de oude. Dat de goocheltruc die op papier mogelijk lijkt, in de praktijk altijd mislukt. Een zwaktebod, oordelen tegenstanders.

Toch maar terug naar de filosofische zuiverheid van de ultrafinitisten dan, die oneindigheid in elke vorm rigoureus verwerpen?

Hart denkt dat ook daarin de oplossing niet schuilt. Misschien moeten we ons gewoon wat minder in bochten wringen om het begrip te temmen, oppert hij, en stoppen met onze pogingen om het oneindige te persen in het keurslijf van het menselijk begrip.

‘Weet je wat het is met het oneindige’, zegt hij. ‘Je begrijpt het misschien niet helemaal, maar je raakt er wel aan gewend. En dan is oneindigheid plots gewoon een goede vriend, waarmee je prima kunt werken.’